Topologie heisst das Teilgebiet der Mathematik, in dem ein Doughnut und eine Tasse dasselbe ist. Sie haben nämlich dasselbe Geschlecht, und zwar das Geschlecht 1. Wenn du jetzt denkst, die Topologie habe nicht mehr alle Tassen (bzw. Doughnuts) im Schrank, dann ist dieser Artikel für dich. Denn hier erkläre ich, was damit gemeint ist.

Topologie eignet sich deshalb so gut, um mathematische Gegebenheiten anschaulich zu erklären, weil es ein Teil der Geometrie ist. Der Raum, in dem wir leben, ist dreidimensional und entsprechend haben wir ein gutes Vorstellungsvermögen für Geometrie, die sich im dreidimensionalen Raum abspielt. Auch Doughnuts und Tassen im dreidimensionalen Raum können wir uns gut vorstellen.

Wann sind zwei Dinge dasselbe?

In der Topologie werden zwei Strukturen oder Gegenstände als dasselbe verstanden, wenn sie auf eine bestimmte Art und Weise ineinander überführt werden können. Anschaulich erklärt entspricht dies etwa der Möglichkeit, einen Gegenstand aus Knetmasse in so umzukneten, dass bestehende Löcher nicht geschlossen werden und keine neuen Löcher entstehen. Eine Wurst darf beispielsweise nicht zu einem Ring geschlossen werden, da sonst ein neues Loch (in der Mitte des Rings) entsteht.

Doughnut = Tasse

Wenden wir das gelernte an und schauen, warum Doughnuts und Tassen dasselbe sind. Um in der Topologie als dasselbe zu gelten, müssen sie sich ineinander überführen lassen.

Stell dir einen Doughnut aus Knetmasse vor. Nun stell dir auch eine Tasse aus Knetmasse vor. Wie kannst du den Doughnut, ohne Löcher zu schliessen oder neue Löcher zu bilden, in die Tasse überführen? Vielleicht kannst du dir das selbst vorstellen. Ansonsten habe ich versucht, den Verwandlungsprozess zeichnerisch darzustellen:

Das Geschlecht der Dinge

Wenn wir also zwei Gegenstände aus Knetmasse haben, welche sich auf diese Art und Weise ineinander überführen lassen, so sind diese beiden Gegenstände (in der Topologie) dasselbe. Bei diesem Überführungsprozess werden nie Löcher geschlossen und es entstehen auch keine neuen Löcher. Die Anzahl der Löcher bleibt also unverändert, auch wenn sich die Form der Knete sonst sehr fest verändert. Folgende zwei Aussagen sind demnach wahr:

1. Wenn zwei Gegenstände gleich sind (= sich ineinander überführen lassen), dann haben sie dieselbe Anzahl Löcher.
2. Wenn zwei Gegenstände dieselbe Anzahl Löcher haben, dann lassen sie sich ineinander überführen und sind also dasselbe.

Diese beiden Aussagen bedeuten, dass ein Gegenstand durch seine Anzahl Löcher eindeutig bestimmt ist. Denn gäbe es einen anderen Gegenstand mit derselben Anzahl Löcher, dann wären diese beiden Gegenstände ja dasselbe!

Die Anzahl Löcher wird “Geschlecht” genannt. Die Doughnut-Tasse hat ein Loch und somit Geschlecht 1. Ein Doppeldoughnut hat zwei Löcher und somit Geschlecht 2. So lassen sich alle Gegenstände als Doughnuts mit unterschiedlich vielen Löchern darstellen.

Was ist mein Geschlecht?

Nun kannst du deine Vorstellungskraft etwas testen und bei einigen Gegenständen, die du siehst, ihr Geschlecht bestimmen.

Beispielsweise kann auch mein Geschlecht bestimmt werden. Der Einfachheit halber nehmen wir an, ich hätte nur zwei Körperöffnungen, nämlich vorne und hinten. Dazwischen liegt der Verdauungstrakt, der als verschlungene Röhre angesehen werden kann. Wird diese verschlungene Röhre entschlungen, so ist es möglich, durch mich hindurch zu schauen. Ich habe also genau ein Loch und somit ist mein Geschlecht 1. Ich bin also eine Tasse oder ein Doughnut…